Dilatation du temps en Relativit� Restreinte

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A l'occasion de Science en F�te 2004, un stand du LAPP, au Village des Sciences � Chamb�ry, est consacr� � la dilatation relativiste du temps. Un poster montre comment cet effet a �t� d�montr� exp�rimentalement et ce que deviendrait notre vie si ces effets �taient plus importants.
D'autre part, vous trouverez dans cette page des explications sur cette dilatation du temps en relativit� restreinte (c'est � dire sans gravitation).
Sur une autre page se trouvent les explications concernant l'effet de la gravitation sur l'�coulement du temps (relativit� g�n�rale).

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Bibliographie

Quelques explications

La th�orie de la relativit� restreinte s'applique seulement aux objets en mouvement uniforme (vitesse constante) les uns par rapport aux autres. Le but de cette th�orie fut de r�concilier la m�canique classique de Newton avec les �quations de Maxwell concernant l'�lectromagn�tisme. Einstein fut oblig� de remettre en question les concepts fondamentaux d'espace et de temps. Il r�duisit l'incompatibilit� apparente entre la m�canique et l'�lectromagn�tisme gr�ce � deux postulats: La n�cessit� de rendre compatibles ces deux postulats conduisit � une nouvelle conception de l'espace et du temps deja largement esquissee par les travaux de H. Poincare et de H.A. Lorentz. Soient (x,y,z,t) les coordonn�es d'un �v�nement dans un r�f�rentiel R et (x',y',z',t') les coordonn�es de cet �v�nement dans un r�f�rentiel R' se d�placant � la vitesse v par rapport � R . Pour que les deux postulats soient v�rifi��s, nous avons besoin de la transformation de Lorentz pour relier les deux types de coordonn�es: 
 
x' = (x-vt) * gamma
y' = y
z' = z
t' = (t - v*x/c2) * gamma

avec c2 = carr� de la vitesse de la lumiere
et gamma = 1/sqrt(1 - v2/c2)  ou sqrt d�signe la fonction racine carr�e.

Si dans un r�f�rentiel donn�, nous voyons deux �v�nements se produire au m�me endroit, l'intervalle de temps dt qui s'�coule entre ces deux �v�nements est dit propre. Dans un r�f�rentiel en d�placement par rapport � ce r�f�rentiel propre, l'intervalle de temps est: 

dt' = dt * gamma
Que l'on peut traduire par : une horloge vue depuis un referentiel en mouvement retarde toujours par rapport a une horloge liee a ce referentiel. Ou encore, dans un referentiel donne, le temps le plus long est toujours le temps propre indique par l'horloge liee a ce referentiel.

Si deux �v�nements se produisent � une distance dx l'un de l'autre dans un r�f�rentiel o� ils sont simultan�s, alors dans un r�f�rentiel se d�pla�ant selon x � la vitesse v par rapport � ce r�f�rentiel, les deux evenements sont distants de: 

dx' = dx / gamma
Que l'on peut traduire par : la longueur d'une r�gle mesuree depuis un referentiel en mouvement est toujours plus courte que la longueur propre, c'est a dire la longueur de cette regle si elle etait liee au referentiel en mouvement. La longueur propre est la "longueur physique" de la regle, une longueur qui ne depend pas du referentiel dans lequel on se place pour faire la mesure.

M�me en voyageant � la vitesse du Concorde (2000 km/h) ou dans une navette spatiale (30 000 km/h), cette dilatation du temps est presque sans effet sur les voyageurs, qui atterrissent en ayant moins vieillit de quelques microsecondes seulement. Pour que les effets de la relativit� restreinte commencent � se faire sentir, il faut que notre vitesse se rapproche de celle de la lumi�re (c). Si v=0.9c, le facteur de dilatation du temps est de 2.3 et augmente tr�s vite quand v se rapproche de c. Une fus�e voyageant � v=0.9c mettrait 1.75 ans (heure de la fus�e!) pour atteindre une plan�te situ�e � 4 ann�es-lumi�re de la Terre. Si la fus�e voyageait quasiment � la vitesse de la lumi�re, son voyage serait instantan� tandis que, sur Terre, 4 ann�es se seraient �coul�es. Vue de la Terre, la fus�e part puis arrive 4 ans plus tard sur la plan�te lointaine. Dans la fus�e voyageant quasiment � la vitesse de la lumi�re, l'avant de la fus�e arrive sur la plan�te lointaine presque au moment o� l'arri�re de la fus�e quitte la Terre!

Imaginons un voyageur dans cette fus�e ayant un fr�re jumeau rest� sur Terre. A bord de la fus�e, il voit la Terre se d�placer � la vitesse de la lumi�re. Il en d�duit donc que son jumeau, se d�pla�ant � v proche de c, ne vieillira presque pas tandis que lui vieillira de 8 ans (voyage all� et retour). Le jumeau rest� sur Terre voit la fus�e se d�placer � la vitesse v et en d�duit que son jumeau dans la fus�e ne vieillira presque pas tandis que lui vieillira de 8 ans. Qui a raison ?
Au retour de la fus�e, les jumeaux s'attendent tous deux � ce que l'autre soit plus jeune. Pourtant, seul le jumeau n'ayant pas voyag� aura vieilli de 8 ans. Ce paradoxe est r�solu si l'on constate que l'un des jumeaux, pour revenir sur Terre, a du changer de r�f�rentiel: il est pass� d'un fus�e voyageant � la vitesse v (voyage aller) � une fus�e se d�placant � la vitesse -v (voyage retour). Ce changement de r�f�rentiel est ressenti par le jumeau voyageur sous la forme d'une acc�l�ration (fus�e qui fait demi-tour) ou sous la forme d'une accumulation de temps compt� par l'horloge terrestre vue depuis la fus�e. En effet, si le jumeau voyageur fait demi-tour en passant de facon progressive d'une fus�e � vitesse v � une fus�e � vitesse v-dv, puis v-2dv, ... puis 0, puis -dv, puis -2dv, ... puis -v+dv, puis -v, il peut appliquer la relativit� restreinte dans chacune de ces fus�es � vitesse constante et constater qu'� chacun de ses sauts l'horloge terrestre a avanc� un peu plus que la sienne, bien que pendant son voyage dans une des fus�e il ait vu l'horloge terrestre avancer plus lentement que l'horloge de la fus�e! Le demi-tour, quel que soit la facon de le faire, casse la sym�trie du probl�me donc le paradoxe.

Le r�sultat reste identique si le jumeau d�cide d'atterrir sur la plan�te lointaine, donc de passer d'une fus�e � vitesse v � une fus�e � vitesse 0. Simplement, son fr�re rest� sur Terre aura alors vieilli de seulement 4 ans, tandis que lui n'aura pratiquement pas vieilli.

Deux r�gles essentielles � retenir:



Last modified: 11/16/2004 20:47:24